[Block Diagram] Open-Loop/Closed-Loop Transfer Function + 블록 다이어그램 해석을 위한 몇 가지 예제들

[System Modeling] Block Diagram (블록 다이어그램, 블록선도)

직전 글에서 블록 다이어그램에 대해 정리를 했고, 간단한 피드백 루프 전달함수를 구하는 방법을 배웠다.

이번에는 피드백 루프에 대해 추가적으로 정의되는 개념에 대해 정리하고, 이전 글에서 정리하지 못했던 블록 다이어그램 예시들을 해석하여 블록 다이어그램에 대해 더 적응하고 복잡해보이는 그림이 나와도 자신감을 가질 수 있도록 한다.

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Open-Loop Transfer Function

기본적인 피드백 루프

위 그림과 같이 기본적인 피드백 루프를 구성하는 블록 다이어그램이 있다고 해보자. \( C(s) \)는 제어기, \( G(s) \)는 모델 (플랜트), \( H(s) \)는 피드백 dynamics로, 센서가 될 수 있다. 여기서 우리는 입력 (reference) \( r \)과 출력 \(y\)에 대한 전달함수를 구하는 방법에 대해서는 정리했다. (\(T(s)\): Closed-loop transfer function)

$$ T(s) = \dfrac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)H(s)} $$

폐루프가 나왔으므로 개루프도 나와주어야할 것이다. Open-loop transfer function 또는 loop gain은 아래와 같이 정의된다.

$$ L(s) = C(s)G(s)H(s) $$

추후에 정리하겠지만, 이 open-loop transfer function은 시스템의 안정성 분석과 주파수 영역에서의 해석을 할 때 사용된다.

이 글에서는 블록 다이어그램을 해석하기 위한 개념과 방법을 소개한다. 그림에서 여러 입력과 출력이 보이는데 각 입력에서 출력으로 가는 전달함수를 써볼 수 있다.

$$ \begin{align} T_{r\rightarrow y}(s) = \dfrac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)H(s)} \quad T_{n \rightarrow y}(s) = \dfrac{C(s)G(s)H(s)}{1+C(s)G(s)H(s)} \\[15pt] T_{r \rightarrow u}(s) = \dfrac{C(s)}{1+C(s)G(s)H(s)} \quad T_{n \rightarrow u}(s) = \dfrac{C(s)H(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}\end{align}$$

모두 분모가 같으면서, 입력 출력에 따라서 어떤 규칙이 있는 것을 알 수 있다.

블록 다이어그램 해석

블록 다이어그램에서 전달 함수를 구하는 방법에 있어서, 이전 글에서 다뤘던 예시들이 조금 부족한 것 같아 예시를 한 개 만들어봤다.

PPT로 손수 만든 예제

이 블록 다이어그램에서 input을 \( r\), output을 \(y\)로 하는 전달함수를 구해야 한다. 이전 글에서 정리했던 것처럼 피드백 루프를 간단하게 만드는 방법을 가지고 할 수 있을 것 같은데, 뭔가 서로 얽혀있어서 바로 적용하기에는 어려워 보인다.

가운데에 있는 \( G_2 \)를 어떻게 잘 처리해야 할 거 같은데.. 이렇게 새로 쓸 수가 있다.

익숙한 형태로 만들어버리기

왼쪽에서 두 번째 노드 (\(e\) 신호가 들어가는 점)로 들어오는 다른 신호는 결국 \(G_2H_1 \)에서 나오는 신호와 같고, 그러면서 오른쪽에 있는 루프의 신호 흐름에 영향을 주지 않았다. 이렇게 되면 익숙한 피드백 루프와 단순한 병렬 연결의 형태로 나오게 된다. 각각을 정리하면 아래와 같다.

수정된 블록다이어그램

이에 대한 전달함수 계산은 식의 형태가 귀찮을 뿐이지 어려운 것은 아니다.

정리하면 다음과 같다.

$$ T(s) = \dfrac{\dfrac{G_1}{1+G_1G_2H_1} \left(G_4 + G_2G_3 \right)}{1 + \dfrac{G_1}{1+G_1G_2H_1} \left(G_4 + G_2G_3 \right)} = \dfrac{G_1G_4 + G_1G_2G_3}{1 + G_1G_2H_1 + G_1G_4 + G_1G_2G_3}$$

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블록 다이어그램의 피드백 루프에서 정의되는 open-loop/closed-loop transfer function에 대해서 정리했고, 이전 글에서 다루지 않았던 형태의 블록 다이어그램을 간단하게 만드는 방법을 정리했다.

아무리 복잡해보이는 블록 다이어그램이더라도 푸는 방법은 굉장히 단순하다는 것을 알 수 있으며, 자주 보고 익숙해지면 이에 대한 해석도 어렵지 않을 것이다.