[System Modeling] 시스템의 차수

앞서 시간 영역과 라플라스 영역에서의 시스템 모델링 방법에 대해 정리했다.

이렇게 정의한 시스템의 복잡도를 나타내는 중요한 개념으로 시스템의 차수가 있다. 차수는 시스템의 복잡성을 나타내며, 특히 동적 시스템에서는 시스템이 저장할 수 있는 독립적인 상태 변수의 개수로 정의된다. 차수가 높을수록 시스템의 복잡도가 증가하며, 시간 응답, 주파수 응답, 그리고 안정성에 중요한 영향을 미친다. 이번 글에서는 time-domain과 (미분 방정식)과 Laplace domain (전달함수)에서 시스템의 차수를 정의하는 방법과 차수의 의미에 대해 정리해본다.

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미분 방정식에서의 차수

시스템의 동작을 기술하는 미분 방정식이 주어진 경우, 시스템의 차수는 해당 방정식에서 출력의 가장 높은 미분 항의 차수로 정의된다. 예를 들어, 시스템이 다음과 같은 2차 미분 방정식으로 표현된다고 가정해보자.

$$ a_2\ddot{y}(t) + a_1\dot{y}(t) + a_0y(t) = b_0u(t)$$

이 방정식에서 출력 \( y(t) \)의 최고 차수 미분항은 2차 미분항 \( \ddot{y}(t) \)이므로 이 시스템의 차수는 2가 된다.
일반적으로, 시스템이 n차 미분 방정식으로 표현된다면 그 시스템의 차수는 n이 된다. 이는 시스템이 몇 단계의 시간적 변화(미분)를 겪어야 입력과 출력 사이의 관계를 완전히 설명할 수 있는지를 나타낸다.

시스템의 차수는 입력의 차수 여부에는 관계 없이 출력의 차수에만 영향을 받는다는 것에 주목하자.

 

전달함수에서의 차수

이전 글에서 소개했듯, 시스템의 전달함수는 \( \dfrac{(\text{출력})}{(\text{입력})} \)으로 정의된다.

$$ G(s) = \dfrac{N(s)}{D(s)}$$

여기서 \( N(s) \)는 분자 다항식, \(D(s)\)는 분모 다항식이다. 전달함수에서 시스템의 차수는 분모 다항식 \( D(s) \)의 차수로 정의된다. 즉, 분모다항식에서 최고차수의 \( s \)항이 시스템의 차수를 결정한다.

앞서 예시를 들었던 시스템의 전달함수는 아래와 같다.

$$ G(s) = \dfrac{b_0}{a_2s^2 + a_1s + a_0} $$

이 전달함수의 분모는 \( s^2 \)항을 포함하므로, 이 시스템의 차수는 2차가 된다.

 

시스템 차수의 물리적 의미

시스템의 차수는 물리적으로는 에너지 저장 요소의 수를 나타낸다. 예를 들어, 기계적 시스템에서는 질량과 스프링이 각각 에너지를 저장하는 요소로 작용하며, 이러한 요소가 시스템의 차수를 결정한다. 전기적 시스템에서는 인덕터와 커패시터가 에너지를 저장하는 요소로 작용한다.

 

그러나 모든 시스템을 1차나 2차로 모델링하는 것은 불가능하다. 세 개 이상의 질량이 스프링, 댐퍼로 연결된 시스템을 단순한 미분방정식과 전달함수의 형태로 나타내는 것을 생각해볼 수 있다. 또는 제어기에 추가적인 필터나 보상기가 포함된 경우 그 제어기의 차수는 2차를 넘어갈 수 있다. 

시스템의 차수는 여러 면에서 시스템의 성질을 결정한다. 이를 이해하기 위해서는 일차 시스템과 고차 시스템을 비교하고, 차수가 시스템 응답에 미치는 영향을 살펴볼 필요가 있다.

 

- 일차 시스템과 고차 시스템: 일차 시스템은 입력에 대해 비교적 단순한 응답을 보이며, 응답 시간도 짧다. 반면 고차 시스템은 더 복잡한 동작을 보이고, 흔히 과도 상태가 길거나 진동하는 특성을 나타낸다. 차수가 높을수록 시스템의 동작은 더욱 복잡해지며, 분석이 어려워질 수 있다.

- 시간 응답과 차수: 시스템의 시간 응답에서 차수는 중요한 역할을 한다. 일반적으로 차수가 높을수록 시스템의 과도 응답이 복잡해지고, 정상 상태에 도달하는 시간이 길어진다. 예를 들어, 이차 시스템은 일차 시스템보다 더 긴 과도 응답 시간을 가질 수 있으며, 진동 또는 감쇠 현상이 발생할 수 있다.

- 주파수 응답과 차수: 차수는 주파수 응답에도 영향을 미친다. 고차 시스템은 낮은 차수의 시스템에 비해 더 복잡한 주파수 특성을 가지며, 더 많은 공진 주파수와 주파수 응답의 변화가 발생할 수 있다.

 

그 외에도 시스템의 안정성에 영향을 줄 수 있는 요인이 많아진다거나, 제어기 설계에서의 복잡성 증가 등의 의미를 가질 수 있다.

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시스템의 차수는 시스템의 복잡성, 시간 및 주파수 응답, 안정성 등 다양한 시스템 특성에 영향을 미친다. 차수를 이해하는 것은 시스템 설계 및 분석에 필수적이며, 특히 고차 시스템에서의 차수 관리는 시스템의 안정성과 성능을 결정짓는 중요한 요소다. 미래의 연구는 고차 시스템의 제어 및 안정성 개선에 집중할 수 있으며, 이를 통해 보다 안정적이고 효율적인 시스템 설계가 가능해질 것이다.