[Time Response] 1차 시스템의 시간 응답

앞서 정리했던 동적 시스템 모델링 및 라플라스 변환 내용을 기반으로 어떤 입력에 대한 시스템의 (출력) 응답을 구해낼 수 있다. 라플라스 변환을 통해 복잡한 미분방정식을 대수방정식으로 변환하고, 주어지는 입력에 대한 출력을 간단하게 계산하여 라플라스 역변환으로 구하는 식이다. 이번 글에서는 1차 시스템에서의 시간응답을 구하는 방법과 물리적인 의미에 대해 정리한다.

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여러가지 1차 시스템. 왼쪽 두 개의 그림에서 측정값이 위치 (\( x \), \( \theta \))라면 2차 시스템이 된다.

위 그림은 모두 1차 미분방정식의 형태로 모델링 되었으므로 1차 시스템이 된다. 왼쪽 두 개의 그림에서 측정값이 속도가 아닌 위치로 정의된다면 2차 시스템으로 모델링 할수 있게 된다.

$$ a_1 \dot{y} + a_0 y = f $$

위와 같은 1차 시스템에 대해서, 입력 \(f\)를 unit step function (i.e., \(f=1\))으로 정의할 때의 해는 아래와 같이 구해진다.

$$ \begin{align} y(t) &= \left( y(0) - \dfrac{1}{a_0} \right) e^{-(a_0/a_1)t} + \dfrac{1}{a_0} \\ &= y(0) e^{-(a_0/a_1)t} + \dfrac{1}{a_0} \left( 1-e^{-(a_0/a_1)t} \right) \end{align}$$

이 식에서 우리는 시스템이 시간이 지남에 따라 어떻게 응답하는지 분석할 수 있다. 먼저 첫 번째 항인 \( \left( y(0) - \dfrac{1}{a_0} \right) e^{-(a_0/a_1)t} \)는 시간에 따라 변화하는 과도 응답 (transient response)으로, 시간이 지나면서 점차 감소해 사라진다. 두 번째 항 \( \dfrac{1}{a_0} \)는 정상 상태 (steady-state)에서의 값으로, 시스템이 시간이 충분히 지난 후 최종적으로 도달하게 되는 값이다.

초기값에 의한 응답 (free response)과 입력에 의한 응답 (forced response)을 구분할 수도 있다. 위 시스템에서의 free response는 \( y(0)e^{-(a_0/a_1)t} \), forced response는 \( \dfrac{1}{a_0}\left( 1-e^{-(a_0/a_1)t} \right) \)가 된다. 

시상수 (Time Constant)

물리 시스템에서는 질량이나 스프링 상수와 같은 물리적 계수가 음수가 될 수 없으므로, 일반적으로 \( \dfrac{a_0}{a_1} \)의 값은 양수로 유지되어야 한다. 이렇게 해야만 시스템이 안정적으로 정상 상태에 도달할 수 있다. 따라서 위에서 구한 해의 지수항 앞에 있는 \( \dfrac{a_0}{a_1} \)는 시스템이 안정적인지 혹은 불안정한지를 결정하는 중요한 요소가 된다.

 

그러면 우리는 이 \( \dfrac{a_0}{a_1} \)의 크기를 통해 시스템이 얼마나 빠르게 응답하는지 알 수 있다. 여기서 시상수 (time constant)라는 개념이 새로 도입된다. 위 식에서 시상수 \( \tau \)는 다음과 같이 정의된다.

$$ \tau = \dfrac{a_1}{a_0} $$

그러면 시스템의 free response는 다음과 같이 구해진다.

$$ y(t) = y(0) e^{-t/\tau} $$

Free response \( y = y(0) e^{-t/\tau} \).

시상수 \( \tau \)는 시스템이 초기 상태로부터 새로운 정상 상태에 도달하는 속도를 정의할 수 있다. 그래프에서 보이는 것처럼 시간이 \( t = \tau \)일 때, 시스템의 변화량은 최대 변화량 (위 그림에서는 초기값)의 약 63.2%에 도달한다. 시간이 \( t = 5\tau \)일 때, 시스템은 사실상 정상 상태에 거의 도달하게 된다.

계단 응답 (Step Response)

계단 함수는 특정 시간에서 값이 계단처럼 바뀌는 함수를 의미한다. 예시에서 입력 \( f = 1 \)로 정의했는데, 제어 시스템에서 이는 \( t = 0 \)에서 뛰어오르는 단위 계단 함수 (unit step function)라고 할 수 있다.

아무튼 앞서 정의했듯, 시스템의 steady-state response는 \( \dfrac{1}{a_0} \), transient response는 \( \left( y(0) - \dfrac{1}{a_0} \right) e^{-(a_0/a_1)t} \)로 정의된다.

\( y(0) = 0\)에서의 unit step response.

Free response에서와 마찬가지로 시간이 시상수 또는 시상수의 배수일 때 값이 의미를 갖는다. \( t = \tau \)에서 시스템 응답이 steady-state 값의 63.2%, \( t = 4\tau \)에서의 값이 steady-state 값의 98%가 나온다.

 

수학적으로는 엄밀하게 steady-state 값으로 가지는 않지만 대부분의 공학에서는 1%의 차이는 무시 가능할만큼 작기 때문에 보통 \(t = 4\tau \)가 되면 steady-state에 도달했다고 표현하기도 한다.

과도 응답과 정상상태 응답

위의 내용들을 종합하면 1차 시스템의 자유응답과 계단응답, 경사 응답 (ramp response)를 정리할 수 있다.

 

1차 시스템 \( \tau \dot{y} + y = r(t) \)에 대해,

- Free response (\(r(t) = 0\))

$$ y(t) = y(0)e^{-t/\tau}, \, y(\tau) \approx 0.37y(0), \, y(4\tau) \approx 0.02y(0) $$

- Step resonse (\(r(t) = Ru_s(t), \, y(0) = 0 \))

$$ y(t) = R(1-e^{-t/\tau}), \, y(\infty) = y_{ss} = R, \, y(\tau) \approx 0.63y_{ss}, \, y(4\tau) \approx 0.98y_{ss} $$

- Ramp response (\( r(t) = mt, \, y(0) = 0 \))

$$ y(t) = m(t - \tau + \tau e^{-t/\tau} )$$

- Impulse response (\( r(t) = A\delta(t), \, R(s) = A \))

$$ y(t) = \left( y(0_-) + A/\tau \right) e^{-t/\tau}$$

서로 다른 두 시상수: Rotational System

어떤 회전 시스템의 회전관성이 \( I = 50kg \cdot m^2 \)이고, 감쇠계수는 \( c = 10N \cdot m \cdot s/rad \)로 주어진다. 토크 \( T(t) \)가 모터로 전달된다고 할 때 모터 부분의 저항은 \(R = 5\Omega \)이고, 인덕턴스는 \( L = 0.001H \)로 주어진다. 이 시스템을 전기적 시스템 (모터)과 기계적 시스템 (회전하는 물체)로 구분해서 모델을 세워보고 시상수를 구해보겠다.

Rotational system

오른쪽 그림의 기계적 시스템을 모델링하기 위해 운동방정식을 쓰면 다음과 같다.

$$ I\dfrac{d\omega}{dt} + c\omega = 50\dfrac{d\omega}{dt} + 10\omega = T(t) $$

전기적 시스템은 다음과 같이 모델링된다.

$$ L\dfrac{di_f}{dt} + Ri_f = 0.001 \dfrac{di_f}{dt} + 5i_f = v(t) $$

\( v(t) = 10V, \, K_T = 25N\cdot m/A \)로 주어질 때 \( i_{f, ss} = \frac{10}{5} = 2A \)가 된다. 이 전류까지 얼마나 빠르게 도달하는지를 분석하기 위해 시상수를 계산해보면, \( \tau_i = \dfrac{0.001}{5} = 2\times10^{-4} sec \)가 된다.

Steady-state 토크를 계산해보면 \( T_{ss} = K_T \times i_{f, ss} = 25 \times 2 = 50N\cdot m \)이 된다. Steady-state에서의 각속도는 \(\omega_{ss} = \dfrac{T_ss}{c} = \dfrac{50N\cdot m}{10N \cdot m \cdot s/rad} = 5rad/s \)가 된다. 기계 시스템의 시상수를 계산해보면 \( \tau_m = \dfrac{50}{10} = 5 sec\)가 된다.

 

여기서 전기적 시스템의 시상수와 기계 시스템의 시상수를 비교해보면 차이가 많이 난다. \( \tau_i \)가 \( \tau_m \)의 \( 0.004%\)에 불과할 정도로 작다. 시스템의 전기적 파트의 dynamics를 무시할 수도 있다는 것이다.

이는 원래 2차인 시스템을 1차 시스템으로 근사하는 것이 가능하다는 것을 의미한다. 이로 인해 기계적 시스템이 주로 동작하는 시간 스케일에서는 전기적 시스템이 이미 steady-state에 도달했기 때문에 전기적 시스템의 세부적인 dynamics를 고려하지 않고, 전기적 시스템을 steady-state로 근사하여 간단히 취급한다는 의미이다.

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1차 시스템의 시간 응답은 초기 상태로부터 정상 상태에 도달하는 과정을 설명하는 중요한 개념이다. 시간 상수는 이 과정에서 시스템의 응답 속도를 결정하며, 부호가 양수일 경우 시스템은 안정적으로 수렴하지만 음수일 경우 발산하게 된다. 이러한 분석을 통해 우리는 시스템의 동적 특성과 안정성을 이해하고, 제어 시스템 설계에 활용할 수 있다.

다음 글에서는 2차 시스템의 시간 응답에 대해 정리해보겠다.