[Time Response] 2차 시스템의 시간응답 - 1

 

 

앞서 살펴본 1차 시스템의 시간응답은 시스템의 입력에 대한 단순하고 직관적인 응답 특성을 보여준다.

[Time Response] 1차 시스템의 시간 응답

그러나 실제 많은 물리적 시스템은 1차보다 더 복잡한 동작을 가지며, 이때 2차 시스템 모델이 유용하다. 2차 시스템은 두 개의 에너지 저장 요소를 포함하며, 진동이나 과도 응답(overshoot) 같은 특성을 나타낼 수 있다. 이번 글에서는 2차 시스템의 시간응답을 구하는 방법과 이를 통해 시스템의 동작을 이해하는 데 필요한 물리적 의미를 정리한다.

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대표적인 2차 시스템

2차 시스템의 거동 (free response와 forced response)은 특성방정식의 해에 영향을 받는다. 특성방정식 (characteristic equation)은 미분방정식 형태로 표현된 시스템을 라플라스 변환을 통해 만들어낼 수 있다는 것을 알고 있으며, 이는 전달함수의 분모에 해당한다는 것도 다른 글에서 언급했던 적이 있다.

특성방정식의 해는 시스템의 안정성을 판단하는 척도가 된다. 입력에 시간 미분 항이 들어가면 모델이 달라질 수는 있지만 특성방정식의 해가 변하지는 않는다. 즉, 시스템의 안정성을 바꿀 수 없다고도 할 수 있다.

이후에 소개하는 시스템의 안정성 분석을 정리할 때 특성방정식의 해가 사용되므로, 다양한 형태로 정의되는 시스템 모델을 전달함수의 형태로 자유롭게 바꿀 수 있다면 수월하게 따라갈 수 있을 것이다.

 

시스템의 응답을 일반화된 수식으로 정리하는 방법이 있다면 좋을 것이며, damping이 없는 비감쇠 진동, damping이 있는 경우 감쇠계수 (\(c\))와 탄성계수 (\(k\))의 관계에 따라 달라지는 응답을 정리한다. 이 내용은 기계공학과의 진동공학 과목에서 자세하게 다루긴 한다.

Undamped Response 

Damping이 없는 시스템을 먼저 풀어보자. 위에 있는 그림에서 damping이 없거나 (\(c=0\)), 저항이 없는 경우 (\(R = 0\))를 들 수 있다.

$$ m\ddot{x} + kx = f(t) $$

여기서 \( f(t) = 0 \)으로 가정하면 이는 간단한 2차 미분 방정식이 되어 여러 방법으로 \( C_1 sin \omega_n t + C_2 cos \omega_n t \)를 구할 수 있다. 여기서 \( \omega_n \)은 고유진동수로 아래와 같이 정의된다.

$$ \omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$$

여기에 초기조건 \( x(0) \)와 \( \dot{x}(0) \)이 정의되면 \( C_1 = \dot{x}(0)/\omega_n , C_2 = x(0) \)을 구할 수 있어 시스템의 응답은 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ x(t) = \dfrac{\dot{x}(0)}{\omega_n} \sin{\omega_n t} + x(0) \cos{\omega_n t} $$

예시가 기계적인 모델이었지만, 모든 2차 시스템에서 고유진동수를 정의할 수 있다는 것이 중요하다. 같은 방법으로 전기적인 시스템에서는 \( \omega_n = \sqrt{1/LC}\)가 된다.

Response with Damping

Damping이 있는 경우도 마찬가지로 식을 세우고 미분방정식을 풀어서 시간 응답을 구할 수 있다. \( m, c, k \) 모델을 예로 들면,

$$ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f(t) $$

여기서 \( f(t) = 0 \)으로 가정하고 라플라스 변환을 취하면 \( ms^2 + cs + k = 0 \)의 특성 방정식을 구할 수 있다. 특성방정식의 해 \( s = \dfrac{-c \pm \sqrt{c^2-4mk}}{2m} \)의 실수부와 허수부에 따라 시스템의 응답이 다르게 구해진다. 이를 위해서 critical damping coefficient와 damping ratio의 정의가 필요하다. 이것들도 진동공학에서 더 자세하게 배우긴 한다.

Critical damping coefficient는 \( c_c = 2\sqrt{mk} \)로 정의된다. \( c = c_c \)이면 특성 방정식이 중근을 갖는 것을 알 수 있으며 이 때의 응답은 진동이 없으면서 응답 속도가 빠른 이상적인 응답이 된다. Damping ratio는 \( \zeta = c/c_c \)로 정의된다.

 

아무튼 모든 2차 시스템은 \( s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 \)으로 특성방정식을 재구성할 수 있다. 그리고 이 특성 방정식의 해 \( s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} \)은 \( \zeta \)의 크기에 따라 overdamped, critical damped, underdamped system으로 정의될 수 있다.

- \( \zeta > 1\) (Overdamped system)

이 때의 특성방정식의 해는 두 개의 서로 다른 실수이다. \( s = -r_1, -r_2 \)라고 하면 아래와 같이 응답이 정의된다.

$$ x(t) = A_1 e^{-r_1 t} + A_2 e^{-r_2 t} $$

\( A_1 = \frac{\dot{x}(0) + r_2 x(0)}{r_2 - r_1}, A_2 = \frac{-r_1 x(0) - \dot{x}(0)}{r_2 - r_1} \)이다.

 

여기서, \( \left| r_1 \right| \gg \left| r_2 \right| \)인 상황이 있을 수 있다. \(r_1\)과 \(r_2\)가 양수이면 이 때의 mode는 \( e^{-r_1 t}, e^{-r_2 t} \)이며 각 mode의 time constant는 각각 \( 1/r_1, 1/r_2 \)이다.

\( r_2 \)의 time constant가 훨씬 크다면 시스템의 거동에 \( e^{-r_1 t} \)는 영향이 매우 작아 무시할 수 있게 된다. 즉, 시스템을 \( s = -r_2 \)인 1차 시스템으로 근사할 수 있다. 실제 제어를 할 때에 공학적으로 요긴하게 쓰일 수 있는 가정과 방법이다.

- \( \zeta = 1 \) (Critical damping)

이 때 특성방정식은 중근을 가진다. \( s = -r \)인 중근에 대한 시스템의 응답은 아래와 같이 구해진다.

$$ x(t) = (A_1 + A_2 t)e^{-rt} $$

\( A_1 = x(0), A_2 = \dot{x}(0) + rx(0) \)이고, 그 응답이 overdamped 상황과 같이 진동이 없는 것 (i.e., 삼각함수 term이 없는 것)을 알 수 있다.

- \( 0 \leq \zeta < 1 \) (Underdamped system)

이 때에는 특성방정식의 해가 허수부를 가지며, \( s = -a \pm jb \)으로 정의된다면, (\( b > 0 \))

$$ x(t) = Ae^{-at}\sin{(bt+\phi)} $$

여기서 \( A = \dfrac{1}{b} \sqrt{(b x(0))^2 + (\dot{x}(0) + ax(0))^2} >0 \)이고, \( \sin\phi = \dfrac{x(0)}{A}, \cos\phi = \dfrac{\dot{x}(0) + ax(0)}{bA} \)이다.

 

위상에 대한 term이 불편하다면 아래와 같이 표현될 수도 있다.

$$ x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left[A_1 sin\omega_d t + A_2 cos\omega_d t \right]$$

\( \omega_d = \sqrt{1-\zeta^2} \omega_n, A_1 = \frac{\dot{x}(0)+\zeta\omega_n x(0)}{\omega_d}, A_2 = x(0)\)이다.

 

2차 시스템의 free response에 대해 가능한 형태 (solution form)를 정리하면 아래 표와 같다.

출처: System Dynamics (3rd Ed.), William Palm

Effect of Root Location

위에서 특성방정식의 해가 시스템의 안정성을 결정할 수 있다고 언급하였다.

더 자세히 들어가서 해가 복소평면에서 어디에 위치하는지에 따라 시스템의 거동을 볼 수 있다.

2차 시스템의 특성방정식 해 위치에 따른 시스템의 free response를 보여주는 그림이 있다. 이 그림을 보고 안정성과 관련된 몇 가지 사실을 정리해볼 수 있다.

출처: System Dynamics (3rd Ed.), William Palm

1. 해가 허수축 (y축)의 오른쪽에 위치하면 시스템은 불안정해진다. 즉, 실수부가 양수이면 시스템은 발산한다.

2. 허수부가 0이 아니라면 실수부에 관계없이 시스템은 진동한다.

3. 허수부의 절댓값이 커질수록, 시스템의 진동은 더 빨라진다. 즉, 진동수가 증가한다.

4. 해가 왼쪽에 있을수록 시스템의 수렴이 더 빨라진다.

 

나중에 제어를 할 때, 불안정한 해를 없애거나 안정적인 위치로 옮기기 위한 제어기 설계가 들어가게 되므로 이 내용을 잘 기억해두면 좋을 것이다. 뿐만 아니라 시스템의 특성방정식만 보고 시스템의 거동을 예측할 수 있으므로 분석을 위한 직관에도 도움이 된다.

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2차 시스템의 시간응답 중 free response에 대해 정리하였다. Damping이라는 성분의 존재 유무와 그 값에 따라 거동이 어떻게 달라지는지를 보는 것이 핵심이었다. 그러면서 특성방정식의 두 개의 해의 상대적인 관계에 따라 시스템을 근사하는 방법, 두 해가 어떤 값을 갖는지에 따른 시스템의 거동을 쭉 정리해보았다.

 

시험을 위해 공부하는 학생의 입장이라면 저 응답을 외우는 것도 방법일 수 있겠지만, 그보다는 그 값이 어떤 의미를 갖는지 알고 어떻게 적용할 수 있는지를 아는 것이 중요했던 것 같다.