[System Modeling] Block Diagram (블록 다이어그램, 블록선도)

 

라플라스 변환과 전달함수에 대해서는 이전 글에서 정리했던 적이 있다.

 

[System Modeling] 라플라스 변환과 전달함수 (Laplace transformation, Transfer function)

시스템을 수학적으로 표현하는 것도 해석에는 용이하지만 직관적으로 이해하기 어렵다. 입력과 출력, 그리고 모델을 시각적으로 표현할 수 있는 방법이 있으며 이것이 블록 선도 (block diagram)이다. 이 block diagram을 잘 쓸 수 있으면 복잡한 모델도 간단하게 표현할 수 있고, 제어 논문을 쓰거나 읽을 때에도 수월해진다. 이번 글에서는 block diagram에 대해 정리해본다.

나의 경우, 다양한 예시들을 보면서 "이럴 때는 이렇게 정리하면 되겠구나"하는 식으로 공부했던 것 같다.

---

Block Diagrams

블록 선도는 시스템의 구성 요소와 그들 사이의 관계를 시각적으로 표현하는 도구이다.

이를 통해 각 구성 요소의 입력과 출력, 그리고 그들 사이의 연결 방식을 한눈에 파악할 수 있다.

Block diagram에 대한 아주 기초적인 소개

블록선도의 구성 요소는 아래와 같이 정리할 수 있다.

 

• 블록 (Block): 시스템의 개별 요소를 나타내며, 보통 위 그림에서 볼 수 있는 직사각형으로 표현된다. 블록 내부에는 시스템의 전달 함수나 이득 (gain)이 표시된다.
• 화살표 (Arrow): 신호의 흐름을 나타낸다. 입력 신호와 출력 신호를 연결하며 방향성을 지닌다.
• 합산점 (Summing Point): 여러 신호의 합을 나타내며, 원 모양에 덧셈(+)이나 뺄셈(−) 기호를 사용한다.
• 분기점 (Branch Point): 신호를 여러 개의 경로로 나누는 지점을 나타낸다.

위 그림에서 \( y(t) \)와 \( u(t) \)의 라플라스 변환을 각각 \( Y(s) \), \( U(s) \)라 하면, 출력 신호인 \( Y(s) \)는 \( G(s)U(s) \)로 정의된다.

Series Elements & Feedback Loops

블록 선도의 구성 요소들을 연결하는 방법으로 직렬 (Series) 연결과 되먹임 (Feedback)을 들 수 있다.

Series로 연결된 경우, 전달 함수는 각 블록의 곱으로 표현된다.

위의 예시에서를 들어, \(T_1(s) \)와 \(T_2(s) \)가 직렬 연결되었다면 전체 전달 함수는 \( T_{total}(s) = T_1(s)T_2(s) \)가 된다.

피드백 루프는 제어 시스템에서 매우 중요한 역할을 한다. 아래 그림에 피드백 루프를 구성한 블록선도와 그것을 간단하게 표현한 것이다. 이 폐루프에 대한 등가 전달 함수를 구하는 과정은 아래와 같다.

위 그림을 통해 아래 세 가지를 정리할 수 있다.

$$ A(s) = F(s) - B(s) \qquad B(s) = H(s)X(s) \qquad X(s) = G(s)A(s) $$
\( A(s) \)와 \( B(s) \)를 소거하면 아래와 같이 식을 정리할 수 있다.

$$ X(s) = \dfrac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}F(s) $$
여기서 \( G(s) \)는 순방향 전달 함수, \( H(s) \)는 피드백 전달 함수다. 위 식은 피드백 제어의 가장 기본이니 잘 숙지해두어야 한다.

반응형

Rearranging Block Diagrams

동일한 모델에 대해서 다양한 블록 선도를 그릴 수 있다.

\( \ddot{x} + 7\dot{x} + 10x = f(t) \)가 있다. 이 시스템의 전달함수는 라플라스 변환을 하면 어렵지 않게 구할 수 있다.

$$ T(s) = \dfrac{X(s)}{F(s)} = \dfrac{1}{s^2 + 7s + 10} $$

그런데, \( x \)와 \( \dot{x} \)이 어떻게 영향을 주는지를 보고 싶다면, 미분방정식으로 표현되었던 모델을 아래와 같이 수정할 수 있다.

$$ \ddot{x} = f(t) - 7\dot{x} - 10x $$

이를 라플라스 변환하고 \(s^2\)을 정리하면 아래와 같다.

$$ X(s) = \dfrac{1}{s} \left[ \dfrac{1}{s} \{ F(s) - 7(sX(s)) - 10X(s) \} \right]$$

이를 block diagram으로 직관적으로 표현하면 단일 전달함수보다는 복잡한 무언가가 나올 것이다. 이를 정리하면 아래 그림과 같다.

Diagrams representing the equation \( \ddot{x} + 7\dot{x} +10x = f(t) \).

여기서 (a)가 맨 처음 전달함수를 바로 표현한 것으로 볼 수 있고, (b)와 (c)는 바꾼 식을 직관적으로 표현한 것이다. 그리고 (d)는 (c)에서 보이는 피드백 루프를 위에서 정리했던 것과 같이 간결화한 것이다. 동일한 모델에 대해 식을 어떻게 정리하느냐에 따라서 이렇게 다양하게 블록다이어그램으로 표현할 수 있다.

Transfer Functions form Block Diagrams

문제를 풀거나, 논문을 읽을 때 블록 다이어그램만 나와있는 경우가 있을 때도 있다. 이 때 시스템의 모델을 구하는 방법을 모른다면 굉장히 난감할 것이다. 그렇다고 블록 다이어그램에서 전달함수를 구하는 방법에는 어떤 지름길이 있는 것은 아니다. 그저 각 블록의 입출력 관계를 식으로 정리하고 이를 정리하면 전달함수를 구할 수 있게 된다.

위에서 정리했던 것처럼 블록 다이어그램을 최대한 간단하게 만들면 전달함수를 구하는 것이 조금 더 쉬워질 수 있다.

- Example 1

아래 그림과 같은 블록 다이어그램의 입력 \( F(s) \)에서 출력 \( X(s) \)로 가는 전달함수를 구해보자.

블록 다이어그램의 \( X(s) \), \( Y(s) \), \( Z(s) \)에 대해 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

$$ X(s) = \dfrac{1}{s+12}Y(s) \qquad\qquad Y(s) = \dfrac{1}{s+6}Z(s) $$

\( Y(s) \)를 없애기 위해 식을 정리하고, summing point에서의 흐름까지 식으로 정리하면 아래와 같다.

$$ X(s) = \dfrac{1}{(s+6)(s+12)}Z(s) \qquad\qquad Z(s) = F(s) - 8X(s) $$

이를 전달함수의 형태로 정리하기 위해 \( Z(s) \)를 없애면 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \dfrac{X(s)}{F(s)} = \dfrac{1}{s^2 + 18s + 80}$$

- Example 2

조금 더 복잡한 블록 다이어그램에 대해 정리해보면 다음과 같다.

루프 안에 루프가 있는 형태고, \( G(s) \)라는 입력이 추가됐으며, 적분기 (\( \frac{1}{s} \))도 추가된 것을 볼 수 있다.

위에서 했던 것처럼 가장 먼저 각 신호 \( G(s) \), \( Y(s) \), \( X(s) \), \( W(s) \), \( F(s) \)의 입출력 관계를 식으로 정리한다.

$$ X(s) = \dfrac{1}{s} \left[ G(s) + Y(s) \right] \qquad Y(s) = \dfrac{1}{s} \left[ 7W(s) - 3X(s) \right] \qquad W(s) = F(s) - 4X(s) $$

중간에 있는 신호인 \( W(s) \)와 \( Y(s) \)를 없애는 방향으로 식을 정리하면 아래와 같다.

$$ X(s) = \dfrac{7}{s^2 + 31}F(s) + \dfrac{s}{s^2 + 31}G(s) $$

각각의 입출력에 대한 전달함수를 구하면 아래와 같다.

$$ \dfrac{X(s)}{F(s)} = \dfrac{7}{s^2 + 31} \qquad \dfrac{X(s)}{G(s)} = \dfrac{s}{s^2 + 31}$$

---

블록 다이어그램의 정의와 구성 요소를 정리했고, 복잡한 블록 다이어그램을 간단하게 만드는 방법을 배웠다.

그리고 블록 다이어그램에서 필요한 전달함수를 구하는 방법을 예시를 통해 정리해보았다.

실제 제어 시스템은 더 복잡하지만 결국 위에서 했던 것처럼 입출력 관계를 나열하고 식을 정리하다보면 원하는 결론을 얻어낼 수 있다.