[System Modeling] 라플라스 변환과 전달함수 (Laplace transformation, Transfer function)

제어 시스템 분석에서 라플라스 변환 (Laplace transformation)은 매우 강력한 도구로, 시간 영역 (time domain)에서의 미분 방정식을 주파수, 또는 라플라스 영역 (frequency domain)으로 변환하여 해석하는 데 사용된다. 이전 글에서 모델링 했던 시스템들은 시간 영역에서 정의된 것이며, 미분방정식 형태로 되어있어 그 풀이가 쉽지 않다.

[System Modeling] 동적 시스템 모델링

공학 수학 등에서 배우는 라플라스 변환을 통해 이를 단순한 대수적 방정식으로 바꾸어 풀이할 수 있게 되고, 시간에 따른 시스템의 거동도 확인할 수 있게 된다.

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라플라스 변환의 정의

라플라스 변환은 시간에 대한 함수 \( f(t) \)를 복소수 변수 \( s \)에 대한 함수 \( F(s) \)로 변환한다. 이는 시스템의 동적 특성을 보다 쉽게 분석할 수 있도록 도와준다. 라플라스 변환의 정의는 다음과 같다.

$$ \mathcal{L}[f(t)] =  F(s) = \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-st} \,dt$$

수학적으로는 적분의 범위가 \( [-\infty \; \infty] \)로 정의되는 것이 맞다. 그런데 제어 대상인 실제 시스템에서 음의 시간은 의미가 없기 때문에 적분 범위를 \( [0 \; \infty] \)로 정의하는 것이 일반적이다.

위 식의 \( s \)는 복소수로 \( s = \sigma+j\omega \)로 나타낼 수 있다. 여기서 실수부 \( \sigma \)가 0이면 푸리에 변환 (Fourier transformation)이 되고, 주파수 영역에 대한 분석을 가능하게 한다. 허수부가 주파수 성분을 의미한다면, 실수부는 그 부호에 따라 감쇠의 특징을 나타낸다. 실수부의 부호는 추후에 설명할 시스템의 극점 (pole)의 위치와도 관련이 있으며, 시스템의 안정성을 정의할 수도 있다.

 

라플라스 변환을 위해 매번 적분을 하는 것은 비효율적이다보니 아래와 같은 표를 참고해서 변환을 수행하게 된다.

라플라스 변환 표

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라플라스 변환의 성질

라플라스 변환은 선형성을 비롯하여 굉장히 다양한 성질과 이에 기반한 정리가 존재한다. Laplace 변환을 이용한 문제 해결에 필수적이므로 잘 알아두면 도움이 된다. 이 글에서 모든 것들을 정리하지는 못하고 중요하다고 생각하는 (바로 생각나는..) 몇 가지만 정리하면 다음과 같다.

- 미분에 대한 라플라스 변환

시간에 대한 일차 미분에 대한 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$ \mathcal{L} \left[\frac{df(t)}{dt}\right] = \int^{\infty}_{0} \frac{df(t)}{dt}e^{-st} \, dt $$

부분적분 (\( \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx\))을 수행하면 아래와 같이 정리가 가능하다.

$$ \begin{align} \mathcal{L} \left[\frac{df(t)}{dt}\right]&= \int^{\infty}_{0} \frac{df(t)}{dt}e^{-st} \, dt \\ &= \left[e^{-st}f(t)\right]^{\infty}_{0} + s \int^{\infty}_{0} f(t) e^{-st} \,dt \\ &= -f(0) +sF(s) \end{align}$$

 

이차 미분에 대해서도 비슷하게 적용할 수 있다.

$$ \begin{align} \mathcal{L} \left[ \frac{d^2f(t)}{dt^2} \right] &= -\dot{f}(0) + s(-f(0) + sF(s)) \\ &= -\dot{f}(0) - sf(0) +s^2F(s)\end{align}$$

- Initial & Final Value Theorem

초기 값 정리 (Initial Value Theorem)와 최종 값 정리 (Final Value Theorem)는 시스템의 응답을 분석할 때 중요한 도구이다. 이 두 정리는 각각 시간 영역의 신호의 초기 값과 최종 값을 라플라스 변환으로 계산할 수 있게 해준다.

$$ \lim_{t \rightarrow 0^+} f(t) = \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s) $$

$$ \lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sF(s) $$

초기값과 최종값은 시스템의 transient response와 steady-state response (과도응답과 정상상태 응답)을 알 수 있게 해준다.

- 기타 유용한 성질들 

미분이 있으니 적분에 대한 것도 있을 것이고, 시간 지연 (time delay)에 대한 라플라스 변환 방법이 존재한다. 그리고 합성곱 (convolution)과 같이 복잡한 계산도 라플라스 변환을 이용하면 간단하게 나타낼 수 있다. \( \mathcal{L} \left[x(t)\right] = X(s) \)로 주어질 때 이 성질들을 다음과 같이 정리할 수 있다.

• 적분: \( \mathcal{L} \left[\int^{t}_{0} x(\tau) \,d\tau \right] = \dfrac{1}{s}X(s) \)
• 합성곱: \( \mathcal{L} \left[ \int^{\infty}_{-\infty} x_1(\tau)x_2(t-\tau) \,d\tau \right] = X_1(s)X_2(s) \)
• 시간 지연: \( \mathcal{L} \left[x(t-T)\right] = X(s)e^{-sT} \)
• \( e^{-\alpha t} \)의 곱: \( \mathcal{L} \left[x(t)e^{-\alpha t} \right] = X(s + \alpha ) \)

그 외에도 여러 성질이 있으니 수학에 관심이 많다면 찾아보는 것도 좋을 것이다.

시스템 모델링과 전달함수

시스템이 미분방정식의 형태로 모델링 되면, 이를 라플라스 변환을 통해 전달함수로 변환하는 것이 가능해진다. 전달함수란 Laplace domain (continuous time에서, discrete time은 z-domain)에서 입력과 출력의 관계를 나타내는 함수라고 생각하면 되겠다. 라플라스 변환을 사용하면 시간 영역의 미분 방정식을 주파수 영역에서 대수 방정식으로 변환할 수 있어 계산과 해석이 훨씬 간단해진다.

 

구체적으로 전달함수는 \( \dfrac{( \text{출력} )}{( \text{입력}) } \)으로 정의할 수 있다.

예를 들어, \( \tau \dot{y}(t) + y(t) = Ku(t) \)로 정의되는 시스템을 가정해보자. 이 시스템에 라플라스 변환을 적용하면 아래와 같이 변환할 수 있다.

$$ (\tau s + 1)Y(s) = KU(s) $$

Time domain에서 미분의 형태로 표현되던 것을 Laplace domain에서 곱셈의 형태로 대체함으로써 다루기가 쉬워졌다. 여기서 시스템의 전달함수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ G(s) = \dfrac{Y(s)}{U(s)} = \dfrac{K}{\tau s + 1} $$

알고 있는 시스템 (i.e., 전달함수)에 대해 입력 함수의 Laplace 변환을 알고 있다면 출력을 계산하는 것이 가능해진다. 이는 시스템의 동적 특성을 이해하는 데에 중요한 정보를 제공한다.

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라플라스 변환을 이용해서 시스템의 시간 응답을 분석할 수 있으며, 이를 위한 몇 가지 정의와 성질을 학습했다.

이를 바탕으로 주어진 모델에 대한 거동을 분석하고 제어기를 설계하는 기반을 세울 수 있다.