[옵션 거래] 풋-콜 패리티 (Put-Call Parity)

이전 글에서 옵션에 대해 개념적으로 정리를 했다.

[경제금융용어 700선] 콜옵션, 풋옵션 (파생 상품)

옵션에 대한 중요한 이론 두 가지로는 블랙-숄프 모형과 풋-콜 패리티가 있으며, 이번 글에서는 콜옵션/풋옵션 사이의 관계를 간단하게 정의할 수 있는 공식인 풋-콜 패리티에 대해 정리해본다.

---

- Put-Call Parity

동일한 기초자산과 만기를 가진 콜옵션과 풋옵션의 가격 사이의 관계를 정의하는 공식이다. 이 공식은 시장의 비효율성을 이용한 무위험 차익거래의 기회를 차단하는 역할을 한다. 이 부분에 대해서는 공식을 유도하면서 조금 더 이야기해보겠다.

 

풋-콜 패리티의 공식은 아래와 같다.

$$ C - P = S - Xe^{-rT} $$

여기서 \( C \)는 콜옵션 가격, \( P \)는 풋옵션 가격, \( S \)는 기초자산의 현재 가격, \( X \)는 옵션의 행사가격, \( r \)은 무위험 이자율, \( T \)는 옵션의 잔존만기이다.

여기서 \( Xe^{-rT} \)가 의미하는 것은 무위험 이자율로 할인한 \( X \)의 가치를 의미하며 \( PV(X) \)로 쓰기도 한다. 위의 식을 재배열하여 아래와 같이 쓰기도 한다.

$$ C + PV(X) = P + S $$

- 무위험 차익거래에서 비롯하는 수식 유도

수식을 유도하기 위해 두 가지의 전략을 가정해보자. 

• 전략 A: 콜 옵션을 구매하고, 동일한 만기와 행사가격을 가진 제로쿠폰채권(만기 시 액면가가 \( X \)인)을 구매한다. 여기서 제로쿠폰채권의 현재 가치는 \( Xe^{-rT} \)이다. 현재의 가치는 \( C + Xe^{-rT} \)이다.
• 전략 B: 풋 옵션을 구매하고, 기초 자산을 구매한다. 가격은 \(P + S \)이다.

여기서 행사 가격은 기초 자산의 현재 가격과 동일하므로 \( S = X \)이다.

 

시간이 흘러 만기일이 되었을 때 기초 자산의 가격의 상승, 하락 여부에 따라서 두 전략의 결과를 정리할 수 있다. 만기일에서의 가격은 "옵션의 가격 + 자산 (i.e., 전략 A에서는 채권, 전략 B에서는 기초자산)의 가격"으로 서술하겠다.

 

첫 번째로 가격이 상승했을 때 (i.e., \( S_T > S\))의 결과이다.

• 전략 A는 콜 옵션을 행사하여 수익을 얻고, 채권의 만기로 인해 수익을 얻으므로 최종적인 가치는 \( (S_T - S) + X = S_T\)가 된다.
• 전략 B는 풋옵션을 행사하지 않고, 기초 자산의 상승이 발생하므로 최종적인 가치는 \(0 + S_T = S_T\)이다.

가격이 하락할 때 (i.e., \( S_T < S \))는 다음과 같다.

• 전략 A는 옵션을 행사하지 않고, 채권 만기로 인해 만기일 가치는 \( 0 + X = X\)가 된다.
• 전략 B는 풋 옵션을 행사하고, 기초 자산 가격의 변동으로 인해 가치는 \( (S - S_T) + S_T = S \)가 된다.

앞서 이야기했듯, 행사 가격과 기초 자산의 시작 가격이 동혀일하므로, 두 전략은 만기 시점에 정확하게 같은 가치를 갖는다.

만기 시점에 같은 가치를 갖는 두 포트폴리오의 초기 가격에서 차이가 발생하는 것은 일어나서는 안되는 일이므로, 두 전략의 초기 가격을 같다고 둘 수 있다. 둘이 다르게 되면 이 차이를 이용해 차익거래가 발생한다.

$$ C + Xe^{-rT} = P + S $$

이렇게 풋-콜 패리티가 유도되었다.

- 풋-콜 패리티의 응용과 의미

이 수식에서 각 항을 적절하게 옮기면 채권이나 실물자산과 같은 거동을 보이는 상품을 합성할 수도 있다.

• \( Xe^{-rT} = S + P - C\): 기초 자산과 그에 해당하는 풋옵션 매수, 콜옵션 매도를 통해 채권과 같은 거동을 갖는다.
• \( S = Xe^{-rT} + C - P\): 콜옵션을 매수하고 풋옵션을 매도한 상태에서 행사가에 해당되는 자금을 보유하고 있다면 이는 해당 옵션의 기초자산을 가지고 있는 것과 같다. 특정 기초자산을 보유하기 어려운 경우 옵션을 사용해 합성해낼 수 있다는 것을 의미한다.

앞서 이야기한 차익거래에서도 풋-콜 패리티를 이용할 수 있다.

• 현재의 콜 옵션 가격이 풋-콜 패리티 공식에서 도출된 값보다 낮다면, 투자자는 콜 옵션을 매수, 풋 옵션을 매도하며, 동시에 기초 자산을 매수하여 이익을 얻을 수 있다.
• 반대로, 풋 옵션 가격이 과소평가되어 있다면, 투자자는 풋 옵션을 매수하고, 콜 옵션을 매도하며, 동시에 기초 자산을 매도하는 방식으로 이익을 취할 수 있다.

수식을 이리저리 바꾸면 상품을 만들수도 있고, 투자의 지표로 삼을 수도 있다.

(공매도 금지를 한다고 해도 옵션이랑 채권을 조합해서 공매도를 만들 수도 있는건가..?)

---

풋-콜 패리티는 기본적으로 무위험 차익 거래의 가능성을 배제하기 위한 원칙에서 비롯되었다. 따라서 풋-콜 패리티는 옵션 시장의 가격이 논리적이고 일관되게 유지되도록 하는 중요한 역할을 한다. 이 원칙이 성립하지 않는다면, 시장에서는 비효율성이 발생하고, 결국 무위험 차익 거래 기회가 생겨나게 된다.
이를 이용한 투자 전략을 한 번 세워보면 재미있을 것 같다..